Importancia de la Matemática

Es bien sabido que las matemáticas son una habilidad sumamente necesaria para todos, pues son la principal herramienta con la que los seres humanos han podido comprender el mundo a su alrededor. Cuando somos estudiantes es común que nos preguntemos ¿por qué debo estudiar matemáticas? Podríamos comenzar diciendo que son muchas las actividades de la vida cotidiana que tienen relación con esta ciencia, por ejemplo, administrar dinero, preparar una receta de cocina, calcular la distancia que tenemos que recorrer para llegar a algún lugar, entre otras cosas, pero la respuesta va más allá. 

Resulta difícil encontrar una definición completamente abarcadora del concepto de matemática. En la actualidad, se la clasifica como una de las ciencias formales (junto con la lógica), dado que, utilizando como herramienta el razonamiento lógico, se aboca el análisis de las relaciones y de las propiedades entre números y figuras geométricas.

Una habilidad básica para la vida

Aprender matemáticas nos enseña a pensar de una manera lógica y a desarrollar habilidades para la resolución de problemas y toma de decisiones. Gracias a ellas también somos capaces de tener mayor claridad de ideas y del uso del lenguaje. Con las matemáticas adquirimos habilidades para la vida y es difícil pensar en algún área que no tenga que ver con ellas. Todo a nuestro alrededor tiene un poco de esta ciencia.

Las habilidades numéricas en general son valoradas en la mayoría de los sectores habiendo algunos en los que se consideran esenciales. El uso de la estadística y la probabilidad efectiva es fundamental para una gran variedad de tareas tales como el cálculo de costos, la evaluación de riesgos y control de calidad y la modelización y resolución de problemas. Hay quienes plantean que en el mundo actual tan cambiante en el que vivimos, particularmente en términos de los avances tecnológicos, la demanda de conocimientos matemáticos está en aumento.

La clave para la resolución de problemas 

Las matemáticas son cruciales para el desarrollo económico y el progreso técnico de un país, permitiéndole seguir siendo competitivo en la economía mundial. La innovación y el crecimiento se basan en la investigación de vanguardia y en la inversión. Para satisfacer las ambiciones competitivas de una economía basada en el conocimiento, las matemáticas convencionales y la educación científica son cruciales.

Un país requiere de profesionistas y científicos preparados para llevar a cabo los papeles más exigentes en las áreas que son básicas para su prosperidad económica 

Los conocimientos y el dominio de las matemáticas son necesarias para la resolución de problemas y la toma de decisiones, prácticamente en cualquier industria.

Por lo tanto, la importancia de la matemática reside en su insustituible utilidad para la definición de las relaciones que vinculan objetos de razón, como los números y los puntos. Sin embargo, la matemática moderna excede el simple análisis numérico y ha avanzado sobre parámetros lógicos no cuantitativos. En este contexto, su aplicación a la informática en los tiempos actuales es responsable de los avances técnicos que deslumbran al mundo entero.

La ciencia que tiene que ver con todo 

Matematica-3¿Por qué son importantes las matemáticas? Probablemente porque son necesarias en muchos otros campos de estudio. Se utilizan, por ejemplo en las ciencias “duras” como la biología, la química y la física; en las ciencias “blandas” como la economía, la psicología y la sociología; en el campo de la ingeniería como en el caso de la mecánica, civil o industrial; en el sector tecnológico se utilizan al programar dispositivos móviles o computadoras, así como para las telecomunicaciones; incluso tienen aplicaciones en el mundo de las artes como en el caso de la escultura, la música y la pintura.

Toda la naturaleza tiene una lógica matemática en gran proporción. De acuerdo a Pitágoras, todo está regido por números y formas matemáticas. Esta ciencia, además de ser lógica y exacta, también está fuertemente relacionada con la belleza, a través de las proporciones estéticamente agradables, como en el caso de la teoría de la proporción áurea, propuesta por Leonardo Da Vinci en el Hombre de Vitrubio, o la secuencia Fibonacci, que tiene aplicaciones en muchos aspectos de la naturaleza.

A diferencia de lo observado en otras ciencias, los conocimientos cardinales en matemática no requieren de demostración mediante la experimentación científica y reproducible, sino mediante demostraciones lógicas basadas en ideas que, a su vez, no necesitan demostrarse (axiomas). De todos modos, muchos teóricos concluyen que la experimentación forma parte de la formulación de ciertos razonamientos, por lo cual no puede excluirse a estos procesos de la investigación convencional en la matemática pura.

Las ramas de la matemática incluyen la tradicional aritmética (dedicada al estudio de los números y de sus propiedades), el cálculo algebraico, la teoría de conjuntos (aplicada en forma dinámica a la informática), la geometría, la trigonometría y el análisis matemático.

Para muchos de nosotros, las matemáticas pueden ser difíciles y demandantes. Lo cierto es que siempre están presentes en nuestras vidas y dependemos de ellas para seguir entendiendo el mundo y contribuir a mejorarlo día a día. De este modo, alcanza niveles tales que no resulta posible concebir a la civilización humana sin considerar a esta ciencia en el contexto cotidiano. La aplicación de la matemática se percibe en la totalidad de los actos humanos, incluso desde los primeros meses de la vida. En menor o en mayor grado, muchos expertos aducen que el desconocimiento de los elementos fundamentales de la matemática se define como una forma más de analfabetismo, al tiempo que se hace hincapié en la trascendencia de su enseñanza simplificada en todos los niveles educativos.

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El mundo en una fórmula matemática

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Nunca antes hubo tantos datos nuestros por Internet. En un día corriente, uno puede airear en la Red cientos de preferencias, gustos y valores mientras navega. Le pueden decir que quiere comprarse un coche y que le gusta tal modelo porque lo estuvo viendo en tal o cual página especializada; o que es aficionado al cine, por comprar asiduamente entradas a través de un servicio on-line; o que se mueve habitualmente entre Barcelona y Madrid, porque ubicar a un usuario de móvil es lo más fácil del mundo para una operadora de telecomunicaciones. Pero no solo eso, los sistemas electrónicos que empresas e instituciones instalan hoy permiten, a través de cientos de miles de cámaras, ponernos cara y ver qué línea de metro o de autobús utilizamos para desplazarnos al trabajo o a ver a un amigo, o cuál es la sucursal de banco a la que acudimos a pagar las facturas.
Pero, ¿hay alguien que ordene este océano de datos que se genera y le saque partido? Y, si es así, ¿quién es? ¿Dónde trabaja? ¿Para quién? Stephen Baker, un periodista experimentado que trabajó durante más de 20 años para la revista Business Week y que ha sido coautor de blogspotting.net, uno de los sites más influyentes del mundo, acaba de publicar un libro, Numerati, lo saben todo de ti (Seix Barral), en donde pone nombres y apellidos a los hombres que en estos momentos se encargan de sacar partido a la marea de datos en que se ha convertido Internet. Se trata de matemáticos, estadísticos o simplemente hombres de negocios avispados que aprovechan el torrente de información que cada día vertemos a la Web.
Los Numerati, como él los llama, una denominación que suena a secta o a sociedad masónica, son una élite que trabaja desde diversos puntos del planeta y que, para realizar su trabajo, aplica fórmulas y algoritmos a poderosas máquinas de computación que están disponibles debido al abaratamiento vertiginoso de los servidores en los últimos años. Estos pioneros trabajan en los laboratorios de las grandes multinacionales o en star-ups. De lo que pueden llegar a ser este tipo de proyectos da buena cuenta Google. Y es que no hay que olvidar que el buscador, la empresa que más impacto ha tenido en la última década en el mundo tecnológico y que hoy es una de las más valoradas en Bolsa, en realidad, es un proyecto de dos matemáticos que en la segunda mitad de los años noventa se movieron para afinar un algoritmo eficiente, fiable y rápido de búsqueda de información. Pero para saber hasta dónde puede llegar esta casta de matemáticos, lo mejor será acudir, con Stephen Baker, a los sitios donde trabajan y ver qué están haciendo.

Eligiendo al candidato ideal
Samer Takriti, matemático de origen sirio, trabaja en el centro de Investigación Thomas J. Watson, una instalación que IBM tiene a las afueras de Nueva York. Allí elabora modelos matemáticos con datos de 50.000 consultores de la compañía para luego sacar más partido a cada uno de ellos. Lo que hace Takriti y su equipo, formado por 40 personas en los que hay hasta expertos en lingüística, es asociar símbolos a decenas o cientos de habilidades de cada uno de esos empleados. Unos símbolos que luego el ordenador procesará de forma frenética para facilitar las cosas a los chicos de recursos humanos del gigante azul.

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Así, un gerente de la compañía que quiera formar un grupo de trabajo para, por ejemplo, potenciar las ventas de Lotus Domino en el sur de Europa, solo tendría que sentarse ante el ordenador y hacer clics en los menús con objeto de describir el trabajo y las habilidades requeridas a cada componente del equipo. Al cabo de unos segundos, el sistema, que se sabe la vida de cada uno de los empleados al dedillo, da como resultado el equipo ideal. Tal vez algunos hayan trabajado juntos de forma armoniosa y todos cuentan con pasaporte y con aeropuerto cerca para acudir a reuniones habituales en París. Además, los cinco dominan el francés, el inglés, el italiano y el español, con lo cual quedan cubiertos los problemas de idioma.
Pero el sistema no solo elige a los mejores candidatos solo por sus habilidades, sino que también es capaz de ajustarse a un presupuesto inicial, buscando entre los mejores candidatos con un rango de salario adecuado. El sistema incluso puede determinar qué capacitación necesitaría alguien que, por su salario, es idóneo, pero que, por su currículo, tendría que mejorar en algunos aspectos, como el aprendizaje de un idioma. En un mundo global, poblado por miles o millones de candidatos, IBM quiere ir más allá de la vieja fórmula del boca a boca para seleccionar a su personal.
Carritos inteligentes
En 2002, Rayid Ghani, un investigador de Accenture, causó mucho revuelo con un estudio que indicaba cómo una cadena de tiendas de ropa como Gap podía elaborar automáticamente perfiles de sus clientes valorando lo que compraban (y no compraban). Ghani acompañó a cada pieza de vestuario de información contextual, lo que los científicos de la computación llaman detalles semánticos, con los que se puede catalogar a un comprador como joven urbano y reconocer incluso su universo íntimo de valores en función de los pantalones o del jersey que se lleva a casa. Ahora, Ghani y su equipo trabajan para vender sus modelos estadísticos a la industria alimentaria. Y es que las etiquetas semánticas van a permitir a las grandes cadenas conocer al detalle a sus millones de clientes.
La verdadera revolución llegará con los carritos inteligentes, que, provistos del software necesario, mostrarán a los clientes, en función de su histórico de compras, los productos de su agrado. Solo con recordarnos lo que queremos, muchas tiendas aumentarían significativamente sus ventas, puesto que se calcula que olvidamos un 11% de los artículos que teníamos pensado adquirir cuando vamos al supermercado. Además, el gerente del establecimiento podrá decidir sobre la marcha qué artículos rebajar o subir en función del stock y de los movimientos de sus clientes. Algunas cadenas, como la alemana Metro (Media Markt) o la británica Tesco, ya están probando esta tecnología, que se complementa muy bien con las tarjetas inteligentes (RFID) o los circuitos de videovigilancia.

Los votantes bisagra
Todos los especialistas están de acuerdo en que las grandes campañas de televisión seguirán decidiendo la política. Sin embargo, en aquellos comicios en los que el vencedor se decida por unos pocos miles o decenas de miles de votos (a los que en el argot político se conoce como «bisagra»), el trabajo de los Numerati será fundamental. Y es que identificar a estos votantes, que difícilmente se pueden catalogar con las viejas categorías (izquierda o derecha; republicanos o demócratas), y darles lo que quieren es en una tarea complicada. Precisamente, Joshua Gotbaum, un veterano de la política en Estados Unidos que trabajó en las administraciones de Jimmy Carter y Bill Clinton, ha fundado una compañía, Spotlight Analysis, que vincula registros de compras y estilos de vida de millones de ciudadanos con sus valores políticos.
Gotbaum, que se nutre de la información aportada por terceras compañías, dispone de más de cien datos de cada elector, desde el género o grupo étnico, hasta el historial crediticio, las revistas a las que está suscrito o los viajes que hace. Estos datos le sirven para agrupar a casi 175 millones de americanos en alguna de las 10 tribus «ideológicas» que ha confeccionado su equipo y descubrir cosas como que es muy probable que el dueño de un gato vote demócrata, mientras que el de un perro sea republicano. Tener estudios universitarios, leer una revista de informática, estar casado y con hijos viviendo en casa… todo ayudará a adelantar el perfil de votante.

¿Qué entendemos por enseñar y aprender en el área de matemáticas?

Cuando una persona adopta el papel de estudiante y se encuentra con sus profesores y con sus compañeras en el salón de clases hay un acuerdo implícito, el estudiante está ahí para aprender y el profesor para enseñar. Tu experiencia en la escuela te ha formado una noción intuitiva de lo que estas dos ideas y prácticas significan y de lo que puedes esperar de una clase. Sin embargo, el sistema educativo que hemos heredado no se diseñó para que aprendieras a actuar en forma adaptativa en un ambiente complejo inundado por la tecnología. Sus objetivos no consideraron que fuera necesario, o siquiera posible, que pudieras aprender a interpretar textos no familiares con propósitos variables, construir argumentos convincentes atendiendo varios niveles, comprender sistemas complejos, desarrollar diversos enfoques a los problemas o llevar a buen fin la solución de un problema trabajando en grupo. Pero la sociedad requiere cada vez más una educación que se centre en las llamadas habilidades intelectuales de orden superior. Estas habilidades, de nombre tan elegante, son las que aplicas cuando tomas decisiones, resuelves problemas, organizas tu propio aprendizaje o haces aportaciones creativas en tus trabajos y actividades. Pero si quieres aprender a resolver problemas tienes que enfrentarte a verdaderos problemas, si quieres aprender a tomar decisiones, tienes que tomarlas y asumir las consecuencias... Todo esto es complicado, pero es lo que haces, y vas a seguir haciendo cada vez más, dentro y, sobre todo, fuera de la escuela. Resnick, conocida investigadora en educación matemática, quien ha estudiado este pensamiento de orden superior, lo caracteriza señalando que:

·         no es algorítmico, porque las vías por las que circula no están bien definidas previamente,

·         es complejo, porque no basta una perspectiva,

·         da lugar a soluciones diversas, cada una con sus costos y beneficios,

·         requiere de la aplicación de criterios múltiples, en ocasiones contradictorios, que al aplicarse producen juicios matizados,

·         va acompañado de una fuerte carga de incertidumbre, no se suele conocer todo lo que se necesita,

·         debe auto-regularse,

·         comprende la asignación de un significado, encontrando la estructura que subyace al desorden aparente

·         y exige un esfuerzo considerable, un trabajo intelectual con propósitos definidos en diversos niveles.

De la Prospectiva del IPN podemos retomar la orientación que se debe dar al quehacer institucional hacia la creación de un sistema educativo capaz de colocar a todo individuo en la posibilidad de adquirir, actualizar y usar adecuadamente el conocimiento pertinente con un sentido de solidaridad. Esto es una invitación para contribuir a una reforma educativa imaginativa y muy exigente, que requiere una reconceptualización de lo que significa ‘tener clase’. Para nosotros, tus profesores, ‘enseñar matemáticas’ significará crear las condiciones que, con tu indispensable participación protagónica, producirán la apropiación del conocimiento, el desarrollo de las habilidades y la formación de las actitudes. ‘Aprender matemáticas’ significará involucrarse en una actividad intelectual exigente, cuya consecuencia final será la disponibilidad de un conocimiento dual: como instrumento y como objeto. Así, ‘saber matemáticas’ significará el desarrollo de estos dos aspectos del conocimiento:

·         Como instrumento, el conocimiento matemático está inscrito en un contexto. En este caso es necesario usar las nociones y teoremas matemáticos que considera el programa de la materia para resolver problemas e interpretar situaciones nuevas.

·         Como objeto, el conocimiento está descontextualizado y es atemporal. Debes ser capaz de formular definiciones, enunciar y demostrar teoremas e identificarlos como elementos de una disciplina: la matemática.

Los tres pensamientos siguientes nos señalan aspectos que debemos considerar en nuestro aprendizaje:

Oigo y olvido,

Veo y recuerdo,

Hago y comprendo.

Un viejo proverbio chino

Hacer... y reflexionar acerca de lo que se hace.

Seymour Papert

No hay conocimiento verdadero si no se es capaz de comunicarlo

Así decían los griegos

Es decir, oyendo, viendo, haciendo... pero además reflexionando y comunicando.

Así nuestro modelo se puede sintetizar, de manera esquemática, en la tríada:

Figura 1. Triada “Hacer - Reflexionar – Comunicar”

El desarrollo de la clase ya no puede ser responsabilidad exclusiva del profesor, sino que debe contar con una nueva actitud del estudiante, que también se responsabiliza y se compromete con su aprendizaje. Juntos podrán discutir y definir las distintas maneras de desarrollar las actividades de aprendizaje, con sus razones, sus ventajas, sus desventajas y sus riesgos.

Las Competencias Básicas y su dimensión matemática

Nuestro marco de referencia lo establece la SEP en sus competencias básicas del estudiante de bachillerato. Las competencias básicas se refieren al dominio, por parte del estudiante, de los conocimientos, habilidades, valores y actitudes que son indispensables tanto para la comprensión del discurso de las ciencias, las humanidades y la tecnología, como para su aplicación en la solución de los problemas de su vida escolar, laboral o cotidiana, por lo que deben ser comunes a todos los bachilleratos del país.

Se considera que las competencias básicas que se deben desarrollar durante el paso del educando por el bachillerato son:

·         Expresarse correcta y eficientemente en español, tanto en forma oral como escrita, así como interpretar los mensajes en ambas formas.

·         Manejar la información formulada en distintos lenguajes y discursos (gráficos, matemáticos, simbólicos, de cómputo, etc.).

·         Utilizar los instrumentos culturales, científicos, metodológicos y técnicos, básicos para la resolución de problemas en su dimensión individual y social, con actitud creativa y trabajando individualmente o en grupos.

·         Comprender, criticar y participar racional y científicamente, a partir de los conocimientos asimilados, en los problemas ecológicos, socioeconómicos y políticos de su comunidad, región y del país.

·         Aprender por sí mismo, poniendo en práctica métodos y técnicas eficientes para propiciar su progreso intelectual.

·         Evaluar y resolver las situaciones inherentes a su edad y desarrollo, incluso en lo que se refiere al conocimiento de sí mismo, su autoestima y autocrítica, salud física y formación cultural y estética, a efecto de tomar decisiones que lo beneficien en lo individual y en lo social.

·         Desempeñarse individual o grupalmente de manera independiente en su vida escolar y cotidiana.

·         Integrar los conocimientos de los diferentes campos, en una visión global del medio natural y social, como paso normativo hacia la inter y multidisciplinariedad.

En cada una de las competencias anteriores hay una componente matemática, por lo que en el área de matemáticas se trata de lograr los conocimientos, las habilidades y las actitudes que al articularse con los de las otras áreas te permitan desarrollar significativamente estas competencias. Estos objetivos, que sin duda quieres lograr tanto como nosotros, exigen nuevas modalidades de trabajo, a las que quizás no estás acostumbrado, y pueden causarte conflictos, cierta desesperación, algo de presión, pero, según afirman los expertos como Resnick, los aprendizajes complejos no se logran aislando las componentes visibles, desarrollándolas e integrándolas posteriormente, sino mediante experiencias que ponen en juego, simultáneamente, tanto las habilidades de índole general, como los conocimientos específicos, junto con tu disposición para embarcarte en situaciones con una fuerte carga de riesgo e incertidumbre. Estos ‘buenos propósitos’ son más complejos, lograrlos es una tarea más difícil pero también, creemos, más atractiva e interesante.

La experiencia básica en nuestras clases se definirá por nuestra relación con los problemas. La resolución de un problema en la clase es un proceso muy complejo cuando los problemas que enfrentas son verdaderos problemas. Debido a esta complejidad, los factores que intervienen para que logremos resolver exitosamente un problema, y comprender algo significativo como resultado de la interacción con el problema, son muchos y de distintos niveles. La desatención de uno, o varios, de estos factores puede entorpecer y a veces hacer imposible la solución de un problema o la comprensión que se deriva de la interacción fecunda con el problema. Una componente que influye de manera determinante corresponde a la forma en que las personas interactúan durante la resolución de un problema. Piensa en un laboratorio en el que se realizan algunos procesos complejos, los factores que intervienen en dichos procesos se administran, se registran continuamente y algunos de ellos se controlan. Así, si queremos crear un ambiente propicio para el desarrollo de las habilidades intelectuales de orden superior es necesario que aprendamos a participar en cada modalidad de trabajo: individual, equipo y grupo completo.

El desarrollo de la tecnología, verdaderamente impresionante en la actualidad, ha perfilado el mundo en que vivimos. Nuestra cultura cuenta ya con una componente matemática que no sólo atañe al especialista sino al ciudadano. Las matemáticas están tan inevitablemente incorporadas a nuestra vida cotidiana que, si hemos sobrevivido, es porque, de alguna manera, hacemos un buen uso de las pocas o muchas matemáticas que sabemos.

La herramienta tecnológica por excelencia es la matemática, pero la matemática es una herramienta dinámica porque para cada problema nuevo hay que diseñar una herramienta nueva; basta revisar la gran cantidad de matemáticas nuevas que se han hecho, especialmente en la segunda mitad del siglo pasado, y el papel que han desempeñado en la solución de los problemas importantes de todas las áreas.

Anteriormente, los objetivos que perseguía una sociedad, o una institución, cambiaban cada dos o tres generaciones. Actualmente, los objetivos se revisan constantemente y el cambio forma parte de nuestra realidad cotidiana. Los conocimientos que hace veinte años estaban vigentes en la electrónica, por poner un ejemplo, hoy son casi totalmente obsoletos. Más que conocimientos específicos, que en cierta medida siguen siendo necesarios, lo que se trata de lograr en la educación de hoy es la capacidad para ser autosuficiente cuando se organiza el aprendizaje que nos exige el ejercicio de la profesión.

Para organizar uno mismo su aprendizaje es necesario desarrollar:

·         las habilidades para usar el conocimiento y articular los conocimientos en pos de un propósito más complejo;

·         las actitudes que nos permiten enfrentar situaciones con una componente importante de incertidumbre;

·         la capacidad para transferir, es decir, aplicar en una situación distinta a aquélla en la que aprendimos, los conocimientos que adquirimos.

El conocimiento debe ser uno de los principales elementos que determinen la relación entre un profesor y sus alumnos. Pero la clase también es un sitio de interacción de costumbres y creencias de cada uno de sus participantes, es conveniente contar con un lenguaje común que nos permita tener un ambiente que propicie la enseñanza y el aprendizaje desde la perspectiva descrita. Así, cada una de nuestras experiencias de aprendizaje dentro del salón de clases tendrá un doble propósito: aprender a crear un ambiente de trabajo y aprender matemáticas.

El ambiente estará dirigido a promover la independencia del estudiante y la responsabilidad que debe tener en su aprendizaje, a través de:

·         El trabajo individual y en equipo.

·         La resolución de actividades matemáticas.

·         La discusión matemática.

·         La evaluación de tu trabajo y del trabajo de tus compañeros en el equipo y en el grupo.

Cuando se lee sobre el pensamiento de orden superior, sobre tener una actitud participativa, crítica y creativa, se suele decir, “sí, parece deseable y necesario, quiero lograrlo, pero ¿cómo lo hago?”. En la Academia de Matemáticas hemos reconocido la gran dificultad que hay para lograr estos objetivos y, junto con los Clubes de Matemáticas de varias escuelas, hemos diseñado y adaptado una serie de materiales auxiliares para la organización del aprendizaje, que te servirán para traducir en acciones cotidianas este importante propósito. Estos auxiliares sirven como marcos de referencia compartidos que se usan y comentan constantemente durante las experiencias de aprendizaje. En la medida en que, tanto el profesor como los alumnos, se familiaricen con ellos pueden llegar a constituir un lenguaje común, en el que se pueden expresar algunas de las dimensiones de aprendizaje más importantes. En una sección de este Libro se tiene un comentario un poco más amplio de estos ‘Materiales Auxiliares para la Organización del Aprendizaje (MAPOA)’. En términos generales, estos auxiliares concretan la expresión ‘responsabilizarse de su aprendizaje’ y contribuyen al logro de tu autonomía como alumno en la organización de tu propio aprendizaje.